已知抛物线y=3ax^2+2bx+c

由图像可知，当a小于0，且0<x<1时 ，抛物线与x轴是肯定没有公共点
所以剩下的讨论就是a大于0时
设它与X轴有公共点，则
3ax^2+2bx+c=0
4b^2-12ac≥0
b^2≥3ac
当x1=0，y1大于0 所以c大于0
因为a大于0，所以ac大于0
当x2=1时，y2大于0
所以3a+2b+c大于0
所以2b大于-(3a+c)
所以 b大于-(3a+c)/2
因为b是负数，所b的绝对值小于(3a+c)/2
[(3a+c)/2]^2=(9a^2+6ac+c^2)/4
=9/4a^2+3/2ac+1/4c^2
若有交点则b^2≥3ac
又因为[(3a+c)/2]^2大于b^2
所以[(3a+c)/2]^2＞3ac
即9/4a^2+3/2ac+1/4c^2＞3ac
9/4a^2-3/2ac+1/4c^2＞0
4(3a+c)^＞0
平方本来就是大于0的，所以不等式成立，
所以有交点

如果有什么不全的地方或是错的地方请指出，我会及时改正
希望能帮到你（我手都酸死了）

1）
若a＝b＝1,y=3x^2+2x+c
-1<X<1时，抛物线与X轴有且只有一个公共点
f(-1)*f(1)
=(3-2+c)*(3+2+c)
=(1+c)(5+c)
<0
-5<c<-1

2)
X1＝0时，对应的Y1=c>0
X2=1时，对应的Y2=3a+2b+c>0
3a+2b+c=a+2(a+b+c)-c=a-c>0
a>c>0

x=1/2时，y=3a/4+b+c=(a+b+c)-a/4=-a/4<0
所以，
f(0)*f(1/2)<0
f(1/2)*f(1)<0
所以，抛物线与X轴是有2个公共点